更新时间:2017-08-19

博弈论影评:第八课:强、弱纳什均衡与临界点

一、参选博弈更多的均衡:
上次留下的问题是,是否最左边的左派,与最右边的右派站起来是一个NE?答案是,不是。因为靠中间任何一个人站起来,就会取得胜利,这样对于每个人就不会是最优决策。
但是这种状况提供了一个有趣的范例,因为它提出在有两个人参选,在何种情况下成为NE?
我们不妨考虑一种极端情况,即他们中间有第三个人站起来,三个人打平的状况。此时有


其中1.2.3分别代表三个候选人的政治立场,可以发现,他们关于这条政治立场的线段三等份,
那么他们的政治立场分别为: 1/6、3/6、5/6
换而言之,在这种极端情况下,只有最中立的选民站起来,才可能取胜。
那么,如果这两个候选人的政治立场向中间靠拢,就会使得哪怕最中立的选民站起来也是无利可图的,换而言之,此时就构成了NE
因此,两个候选人站起来,并且构成NE的条件是,他们的政治立场必须:
1/6 < X 和Y <5/6 ,别且他们两个的政治立场X、Y,要对称
换而言之,满足这个条件的所有这个线段的上的点,都构成了NE






二、选镇博弈(种族隔离模型):
假设:
1.有两个小镇,东镇 E 和西镇 W
2.参与者被分成两种人,大个子 T 和小个子 S ,别且每种人十万
3.每个小镇只能容纳十万人
4.你们的收益如下图

横轴表示在这个小镇中,与你相同的人种的数量
纵轴表示你们的效用
5.如果城镇中的人种 T 和 S并不是均分的,那么他们更喜欢与自己同样人种的人居住在一起

那么你会选哪个小镇来居住呢?
为了能够让模型运作,我们还要加入两个假设:
6. 你们必须同时选择
7.如果有过多的人选择了同一个镇,那么我们就按照概率随机安排




在这次课堂游戏里,我们会发现这个博弈,使得大个子 T 与小个子 S完全隔离了
那么在此基础上,我们思考这个模型的NE。
首先想到的这个模型应该有两个均衡:
(1) “所有大个子 T 都在 W,所有小个子 S 都在 E”;以及“所有小个子 S 都在 W ,所有大个子都在 E”
还有一个均衡:
(2) 他们在 W 和 E 两个镇彼此均分人数




对于这两个均衡而言,为什么我们在课堂游戏中更多的得到了(1),而不是(2)?
因为 稳定性(stable)。
我们试着从破坏均衡的角度考虑这个问题:
对于(2)而言,这个均衡,他们依赖于均等这个严苛的状况,任何一个人(或说少数)的离开、出走、破坏,都使得这种均衡被打破。
但是对于(1)而言,少数的破坏并不会使得结果变得更糟,甚至会变得更好些。而且对于破坏的少数而言,他们遭受的惩罚更严重,效用会直接变为0。但是对于破坏(2)而言,在哪个城市居住的状况,因为在哪里都不会是少数,我们的效用都会降低到0的程度,。


因此,我们称(2)这样的NE为弱纳什均衡(Weak Nash equilibrium ),而称(1)这样的更具稳定性的为强纳什均衡。


而对于(1)这个博弈而言,他们有一个严格的临界点(Tipping point)。过了这个临界点,比如,在T 和S 人种多的那个镇,会不断积累人数,从而产生与之对应的结果。
要理解 Tipping point 的概念,还记得我们曾经在第五课讲的投资博弈吗?90%的人投资,就是一个临界点,超过了这个临界点,最终会形成人们都投资的均衡,而没有超过,则会不断跌落到都不投资的均衡。
临界点的概念对于我们人为干预博弈,从而达成另一种均衡很有用。在我们向得到另一种均衡时,比如在投资博弈中,我们想要将无人投资的均衡变为都投资,那么我们需要利用契约或其他外部因素,只需引导人们越过90%的临界点,那么人们自然而然会形成另一个均衡。



继续在这个基础上思考,这个博弈还有其他均衡吗?
是的,这个博弈还存在其他的均衡,但是这个均衡很特殊。
(3)我们让所有人都选择 W ,这样根据概率分配原则,和大数定律,基本上能够保证每个城市1:1的近似比率,也就达成了类似于(2)的均衡;当然,我们也可以同样让人们都选择 E 镇
但是这个博弈是我们基于游戏规则而定立,这很特殊,我们感觉很无所谓的假设,却能够起到很大的作用。
回过头来我们发现,对于均衡(1)来说,虽然均衡(2)的效用更高,但是人们还是更倾向于出现(1)的状况。人们理性的选择,再一次带来了次优的结果。
但是这时候均衡(3)却带来了另一些改变,因为它并不是以人们的自由选择为前提的,反而某种程度上剥夺了人们的自由选择,却带来了最优的结果。



模型与现实状况:
1.这个模型在解释现实生活中某些状况可能很有用,为什么人们会出现种族隔离?
是因为他们喜欢种族隔离的状况吗?也许并不是。
我们发现即便给予非种族隔离的状况以更高的效用,但种族隔离依然会在人们理性选择后出现。
2.“物以类聚,人以群分”的状况似乎能够在这个模型中得到解释
3.而这个模型的均衡(3)似乎给了我们打破“物以类聚人以群分”状况的方法,那就是剥夺人们自主选择,由国家或者随机分配的原则,便能够遏制这种状况。


三、混合策略 (mixed strategy)

这个博弈,也就是剪刀石头布的博弈,对于这个博弈,我们很难有纯策略 (pure strategy) ,只能依赖混合策略 (mixed strategy )。
什么意思的呢?
比如对于这个博弈,我们的BR是:1/3概率选R,1/3概率选S,1/3概率选P。
某种程度上来说,纯策略是混合策略的特例,是100%概率的某个策略,而其他策略概率为0
下一课我们会讲混合策略,这里是略带一提





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